数学

符号说明: 对于随机变量$X$，概率密度函数记为$f_X(x)$,和课本略有不同。 分布函数$F_{X,Y}(x,y)$的角标在符号不混淆的情况下省略为$F(x,y)$。 参考教材为概率论和随机过程 [林正炎、苏中根、张立新] 一些定义和结论 对于分布函数$F(x) = \int_{-\infty}^x p(y)dy, \quad -\infty < x < \infty$,满足三条性质: 单调不减性:$F(x)\leq F(y), s.t. x \leq y$ $$\lim_{x\to -\infty} F(x)=0,\lim_{x\to \infty} F(x)=1$$,采用概率的连续性定理完成证明 $\lim_{n\to \infty} F(x+\frac{1}{n}) = F(x)$,证明同上 $\boxed{Remark:}$随机向量的概率分布需要的联合分布函数除了满足以上三条性质，还需要满足矩形上的非负性。 即: $$ \forall a < b ,\forall c<d,F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c) \geq 0 $$ 反例:$F_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} &1 &x\geq 0,y\geq0,x+y \geq 1 \ &0 & else \end{cases}$ 满足前三条，但是不满足第四条(取$(0.4,0.7] \times (0.4,0.7]$,将这个矩形的顶点带入可验证)，不是合法的二维随机向量分布函数。 边际分布 对于离散型随机向量(仅能取有限组值或可列组值)，$P(x = \xi_i) = \sum_{j=1}^n P(x = \xi_i,y = \eta_j) = p_{i,\cdot}$ ...

Euclid 空间上的极限和连续 为了研究多元函数的性质，我们首先要定义一个度量标准，进而给出极限以及连续的概念。 内积运算$<\cdot,\cdot>$: $$ <\mathbf{x},\mathbf{y}> = \sum_{i=1}^n x_i y_i $$ 通过内积的正定性以及线性性，$<\mathbf{\lambda x +y},\mathbf{\lambda x +y}>\geq 0 \Rightarrow |<x,y>| \leq |x||y| \quad (Schwarz不等式)$ 我们随后定义了距离的度量，范数 $|\cdot|$: $|x-y| = 0 \Leftrightarrow x = y$ $|x-y| = |y-x|$ $|x-z|\leq|x-y|+|y-z|$ 由Schwarz不等式,我们可以推导三角不等式。 $\boxed{邻域}:O(a,\varepsilon) = {x\in R^n \Big| \ |x-a|<\varepsilon }$ 在此基础上，我们定义了极限。可以发现收敛点列的唯一性、有界性都是成立的。 以下结论均对于$x$和集合$S$: $\boxed{内点}:\exists \varepsilon > 0 ,O(x,\varepsilon) \subset S$ $\boxed{外点}:\exist \varepsilon > 0 ,O(x,\varepsilon) \subset S^c$ $\boxed{边界点}:\forall \varepsilon > 0 ,\exist x_1,x_2 \in O(x,\varepsilon) ,x_1\in S^c,x_2 \in S$ ...