一阶线性方程
- 可以直接分离变量
- 齐次的形式（$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(\frac{y}{x})$）
- 一阶线性非齐次方程 （$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x)y=Q(x)$）
- 伯努利方程（$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x)y=Q(x)y^{n}$）
$$ 令u=\frac{y}{x},那么y=ux,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ux)}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} $$$$ \frac{\mathrm{d}y}{y}=-P\cdot \mathrm{d}x $$$$ \Leftrightarrow y=Ce^{-\int P dx} $$
(ii)Q$\ne$0 ，使用常数变异法$u=u(x)$,我们用它代替C
$$ 于是,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=Qe^{\int P \mathrm{d}x},u=\int Qe^{\int P \mathrm{d}x} \mathrm{d}x+C' $$$$ 带入得，y=e^{-\int P dx} \cdot(\int Qe^{\int P \mathrm{d}x} \mathrm{d}x+C') $$第四个，伯努利方程，将左右都除以$y^{n}$就转化为了第三种形式
$$ y^{-n}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x)y^{1-n}=Q(x) $$$$ \Leftrightarrow \frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d} y^{1-n}}{\mathrm{d} x}+P(x)y^{1-n}=Q(x),再令z=y^{1-n} $$全微分方程
$$ 求：xy(y-xy')=x+yy',y(0)=\frac{\sqrt{2}}{2} $$$$ \Leftrightarrow y'=\frac{xy^{2}-x}{x^{2}y+y}，显然不是前面的形式 $$$$ \Leftrightarrow (xy^{2}-x)\mathrm{d}x-(x^{2}y+y)\mathrm{d}y=0 $$$$ \frac{\partial P}{\partial y}=2xy,\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy,确认为全微分方程 $$$$ C=-\int_{0}^{y}y\mathrm{d}y+\int_{0}^{x}(xy^{2}-x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}y^{2} $$$$ 带入得：\frac{1}{2}x^{2}y^{2}-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}y^{2}=-\frac{1}{4} $$$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{4}y^2lnx\\ -\frac{1}{y^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{4}lnx\mathrm{d}x\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{4}x(lnx-1)+C\\ y=\frac{4}{x(lnx-1)+C} $$$$ (y^3+y)\mathrm{d}x=-x(y^2-1)\mathrm{d}y\\ -\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\frac{y^2-1}{y^3+y}\mathrm{d}y=\frac{y^2+1-2}{y^3+y}\mathrm{d}y=(\frac{1}{y}-\frac{2}{y(y^2+1)})\mathrm{d}y\\ -\frac{1}{x}\mathrm{d}x=(-\frac{1}{y}+\frac{2y}{y^2+1})\mathrm{d}y\\ \frac{y}{y^2+1}=x+C $$$$ y=ue^{sinx},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u'e^{sinx}+ue^{sinx}cosx\\ 代入u'=3x,u=\frac{3}{2}x^2+C\\ y=(\frac{3}{2}x^2+C)e^{sinx},C=4\\ y=(\frac{3}{2}x^2+4)e^{sinx} $$$$ \frac{\mathrm{d}(\frac{1}{y})}{\mathrm{d}x}+2x\frac{1}{y}=e^{-x^2}cosx\\ z=\frac{1}{y},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+2xz=e^{-x^2}cosx\\ z=ue^{-x^2},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=u'e^{-x^2}-2uxe^{x^2},u'e^{-x^2}=e^{-x^2}cosx,u'=cosx\\ u=sinx+C,\therefore z=\frac{1}{y}=(sinx+C)e^{-x^2},y=\frac{1}{(sinx+C)e^{-x^2}} $$$$ 懒得写了，y'=\frac{1}{2}e^{2y}+C_1,(C_1=0)\\ -\frac{1}{2}e^{-2y}=\frac{1}{2}x+C_2(C_2=-\frac{1}{2})\\ y=-\frac{1}{2}ln(1-x) $$